Logical Operator
논리 연산자
- 하나의 명제를 논리 연산자를 이용하여 여러 단순 명제로 도출시켜(분할시켜),
여러 단순 명제의 Truth value(진리값)들로 부터 알고자하는 명제의 진리값을 알 수 있다.
* Truth Table (진리표)
- 명제들의 진리값 간의 관계를 나타내는 표
1. Negation (부정) : \(\neg, ~\)
- 현재 진리값의 반대값을 취하게 하는 연산자이다. (NOT연산)
| \(P\) | \(\neg P\) |
| \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) |
2. Conjunction (논리곱) : \(\land\)
- 두 진리값이 동시에 True값인 경우를 제외한 모든 경우에는 False를 도출시키는 연산자이다. (AND 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \land Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
3. Disjunction (논리합) : \(\lor\)
- 두 진리값 중 어느 하나라도 True값인 경우에만 True를 도출시키는 연산자이다. (OR 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
4. Exclusive OR (배타적 합) : \(\oplus\)
- 두 진리값이 서로 불일치할 때 True, 두 진리값이 서로 일치할 때 False를 도출시키는 연산자이다. (XOR 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \oplus Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(F\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
\(* P \oplus Q \iff (P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)\)
5. Conditional Implication (조건적 함축) : \(\longrightarrow\)
- \(P \to Q\)에서 P가 True, Q가 False일 경우에만 False, 그 이외의 경우에는 True를 도출시키는 연산자이다.
- \(P\): 가정, 전제조건을 의미
- \(Q\): 결론, 결과를 의미
- \(P\)와 \(Q\)를 각각 집합에 대응시킬 경우, 명제 \(P \subseteq Q\) 는 항상 참이다.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \longrightarrow Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
* Related Notaion
Proposition \(P \to Q\) is equivalent to below propositions:
"If \(P\), then \(Q\)" ("P이면 Q이다.")
"\(P\) implies \(Q\)" ("P는 Q를 함축한다.")
"\(P\) is sufficient for \(Q\)" ("P는 Q의 충분조건이다.")
"\(Q\) is necessary for \(Q\)" ("Q는 P의 필요조건이다.")
6. Bidirectional (쌍방조건, 필요충분조건) : \(\longleftrightarrow\)
- \(P \leftrightarrow Q\) 에서, \(P\), \(Q\)가 모두 True 혹은 모두 False일 때 True를 도출시키는 연산자이다. (XNOR연산; XOR연산과 결과값이 반대되는 연산자)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \longleftrightarrow Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
* Related Notaion
Proposition \(P \leftrightarrow Q\) is equivalent to below propositions:
"\(P\) if and only if \(Q\)" ("\(P\) iff \(Q\)")
"\(P\) is necessary and sufficient for \(Q\)" ("\(P\)는 \(Q\)의 필요충분조건(쌍방조건)이다.")
* Tautology (항진명제)
- 단순 명제들의 진리값에 관계없이, 항상 True값을 도출시키는 명제이다.
* Cointradiction (모순명제)
- 단순 명제들의 진리값에 관계없이, 항상 False값을 도출시키는 명제이다.
* Contingency (사건명제)
- 항진명제에도, 모순명제에도 해당되지 않는 명제
Logical Operator
논리 연산자
- 하나의 명제를 논리 연산자를 이용하여 여러 단순 명제로 도출시켜(분할시켜),
여러 단순 명제의 Truth value(진리값)들로 부터 알고자하는 명제의 진리값을 알 수 있다.
* Truth Table (진리표)
- 명제들의 진리값 간의 관계를 나타내는 표
1. Negation (부정) : \(\neg, ~\)
- 현재 진리값의 반대값을 취하게 하는 연산자이다. (NOT연산)
| \(P\) | \(\neg P\) |
| \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) |
2. Conjunction (논리곱) : \(\land\)
- 두 진리값이 동시에 True값인 경우를 제외한 모든 경우에는 False를 도출시키는 연산자이다. (AND 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \land Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
3. Disjunction (논리합) : \(\lor\)
- 두 진리값 중 어느 하나라도 True값인 경우에만 True를 도출시키는 연산자이다. (OR 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
4. Exclusive OR (배타적 합) : \(\oplus\)
- 두 진리값이 서로 불일치할 때 True, 두 진리값이 서로 일치할 때 False를 도출시키는 연산자이다. (XOR 연산)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \oplus Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(F\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
\(* P \oplus Q \iff (P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)\)
5. Conditional Implication (조건적 함축) : \(\longrightarrow\)
- \(P \to Q\)에서 P가 True, Q가 False일 경우에만 False, 그 이외의 경우에는 True를 도출시키는 연산자이다.
- \(P\): 가정, 전제조건을 의미
- \(Q\): 결론, 결과를 의미
- \(P\)와 \(Q\)를 각각 집합에 대응시킬 경우, 명제 \(P \subseteq Q\) 는 항상 참이다.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \longrightarrow Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
* Related Notaion
Proposition \(P \to Q\) is equivalent to below propositions:
"If \(P\), then \(Q\)" ("P이면 Q이다.")
"\(P\) implies \(Q\)" ("P는 Q를 함축한다.")
"\(P\) is sufficient for \(Q\)" ("P는 Q의 충분조건이다.")
"\(Q\) is necessary for \(Q\)" ("Q는 P의 필요조건이다.")
6. Bidirectional (쌍방조건, 필요충분조건) : \(\longleftrightarrow\)
- \(P \leftrightarrow Q\) 에서, \(P\), \(Q\)가 모두 True 혹은 모두 False일 때 True를 도출시키는 연산자이다. (XNOR연산; XOR연산과 결과값이 반대되는 연산자)
| \(P\) | \(Q\) | \(P \longleftrightarrow Q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
* Related Notaion
Proposition \(P \leftrightarrow Q\) is equivalent to below propositions:
"\(P\) if and only if \(Q\)" ("\(P\) iff \(Q\)")
"\(P\) is necessary and sufficient for \(Q\)" ("\(P\)는 \(Q\)의 필요충분조건(쌍방조건)이다.")
* Tautology (항진명제)
- 단순 명제들의 진리값에 관계없이, 항상 True값을 도출시키는 명제이다.
* Cointradiction (모순명제)
- 단순 명제들의 진리값에 관계없이, 항상 False값을 도출시키는 명제이다.
* Contingency (사건명제)
- 항진명제에도, 모순명제에도 해당되지 않는 명제
